高等代数导引

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第一期

上课时间:19年02月 至 23年04月

¥298.00

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课程概述

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老师介绍

  • Eric Yao

    Eric Yao

    我是一名考研辅导老师,擅长讲授《数学分析》,《高等代数》,《实变函数》等数学类专业课程。讲课风格严谨而不失风趣。
简  介 本课程是数学系的线性代数,与工科线性代数注重计算与应用不同,本课程侧重于理论分析及定理的证明,内容包括多项式,向量空间,线性方程组,基底,线性无关,矩阵,行列式,本征值,内积空间,二次型和矩阵的标准形式。本课程是数学系的重要基础课,为学习者学习其他课程如微分几何,概率论,偏微分方程等提供必要的工具。

上课时间  

采用直播课和录播课结合的方式。直播课时间为每周周三晚上8:00-9:00。

 

课程概述
本课程内容上覆盖了北大版《高等代数》的所有内容。第一章给出向量空间的定义,并且阐述了它们的基本性质。第二章定义了线性相关,张成,基底,维数,并且给出了有限维向量空间的基础理论。第三章引入线性映射,这一章的主要结果是线性映射零空间的维度加上值域的维数等于定义域的维数。第四章介绍多项式的基础理论。第五章引入本征向量。本章的精彩之处是复向量空间上本征值存在性的简洁证明。我们还利用这个结论,证明了复向量空间上的算子关于某个基底有上三角矩阵。用类似的方法,证明了实向量空间上的线性算子都具有1维或2维的不变子空间。并利用此结果证明了奇数维实向量空间上的线性算子都具有本征值。我们的这些证明都不需要定义行列式和特这多项式。第六章定义了内积空间。阐述了它们的基本性质并介绍了一些基本工具,如规范正交集,G-S正交化过程及伴随等。第七章的精彩之处是谱定理。它刻画了本征向量可以组成规范正交基的线性算子。有了前几章的工作,本章的证明特别简单。这一章还讨论了正定算子,线性等距同构,极分解以及奇异值分解。第八章引入极小多项式,特征多项式以及广义本征向量。主要结果是用广义本征向量来描述复向量空间上的线性算子。利用这个描述可以证明几乎所有通常要使用Jordan形才能得到的结果。例如复向量空间的可逆线性算子都有平方根。本章最后证明了复向量空间上的线性算子都有Jordan形。第九章的核心是实向量空间上的线性算子。此类算子可能没有本征值,而2维不变子空间弥补了这一不足,从而可以得到与复向量空间类似的结果。在第十章中,我们利用特征多项式定义了迹和行列式。
 

课程教材

Axler, Sheldon J. Linear Algebra Done Right. Springer, 2004. ISBN: 9780387982588.(在授课中我们将使用中文版)
 

课程章节

章节

主题内容
第一章 向量空间
第二章 有限维向量空间
第三章 线性映射
第四章 多项式
第五章 本征值和本征向量
第六章 内积空间
第七章 内积空间上的算子
第八章 复向量空间上的算子
第九章 实向量空间上的算子
第十章 迹和行列式
 

适用人群 

准备数学专业研究生入学考试的同学;初学高等代数的数学类本科同学;其他理工类同学。

 

课程特色
本课程将延续本系列课程的特色,使用世界一流大学普遍采用的教材。Axler, Sheldon J.的Linear Algebra Done Right.起点较低,不需要太多预备知识,而特色鲜明,是公认的阐述线性代数的经典佳作。原书自出版以来,迅速风靡世界,在30多个国家为200多所高校所采用,其中包括斯坦福大学,MIT,UCB等著名学府。
 

学习建议

在听视频课程前最后能对相关知识有大概了解,知悉其中的关键定理,听课时才能有的放矢。在每次课结束后我们都会布置一系列作业,要求学生能仔细分析前面学习的定理和证明。我们建议学生能认真完成这些习题,这样有助于对学习内容的理解和熟悉,也是学好本课程的关键。
 

讲师
Eric Yao。  

* 课程提供者:格林工作室

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