初中数学核心知识100讲
  1. 直播
    第1讲 实数的概念及其运算
    1月30日 已结束
  2. 直播
    第2讲 代数式、整式、单项式
    1月31日 已结束
  3. 直播
    第3讲 整式的加、减、乘、除、乘方运算
    2月01日 已结束
  4. 直播
    第4讲 因式分解
    2月02日 已结束
  5. 直播
    第4讲 分式的基本性质、负指数幂的运算
    2月06日 已结束

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老师介绍

  • 楚云

    楚云

    黄冈人,高级教师,从事高中数学教学15年,任教期间任高中实验班数学课,辅导的学生中有20多人荣获全国数学竞赛一、二、三等奖,30多人进入清华、北大深造。多次被评为“先进工作者”、“全国竞赛优秀教练员”。在省级以上刊物发表论文多篇,累计编写教学辅导书十余本。教学中注重学生学习方法的指导和学习习惯的培养。
简  介 解决数学问题,除必须掌握有关数学内容的基本知识外,还必须掌握一定的解题技巧。本系列着重讲解初中数学解题的思路、途径和技巧,根据数学问题的不同特性,具体地、分门别类地讲解初中代数、几何的解题技巧,诸如怎样求代数式的值,怎样进行因式分解,怎样用韦达定理解题等等,对广大学生颇有启发,能收到触类旁通的作用。

课程目标:学知识、学方法、学技巧
课程特色:系统化、重点化。
适用人群:所有初中学生
优惠方式:免费。
课程详情:要学好数学,学会解题是关键。在进行解题的过程中,不仅需要加强必要的训练,其还要掌握一定的解题规律与技巧。
一、数学思想方法在解题中有不可忽视的作用
       解题的学习过程通常的程序是:阅读数学知识,理解概念;在对例题和老师的讲解进行反思,思考例题的方法、技巧和解题的规范过程;然后做数学练习题。
       基本题要练程序和速度;典型题尝试一题多解开发数学思维;最后要及时总结反思改错,交流学习好的解法和技巧。著名的数学教育家波利亚说“如果没有反思,就错过了解题的的一次重要而有意义的方面。”
       教师在教学设计中要让解学生好数学问题,就要对数学思想方法有清楚的认识,才能更好的挖掘题目的功能,引导学生发现总结题目的解法和技巧,提高解题能力。
1. 函数与方程的思想
       函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系,去构建方程或方程组,通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。
2. 数形结合的思想
       数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景,可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题;而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。
3. 分类讨论的思想
       分类讨论的思想之所以重要,原因一是因为它的逻辑性较强,原因二是因为它的知识点的涵盖比较广,原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。
       解决分类讨论问题的关键是化整为零,在局部讨论降低难度。常见的类型:类型 1 :由数学概念引起的的讨论,如实数、有理数、绝对值、点(直线、圆)与圆的位置关系等概念的分类讨论;类型 2 :由数学运算引起的讨论,如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题;类型 3 :由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论,如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论;类型 4 :由图形位置的不确定性引起的讨论,如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。类型 5 :由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论,如二次函数中字母系数对图象的影响,二次项系数对图象开口方向的影响,一次项系数对顶点坐标的影响,常数项对截距的影响等。
       分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法,其作用在于克服思维的片面性,全面考虑问题。分类的原则:分类不重不漏。分类的步骤:①确定讨论的对象及其范围;②确定分类讨论的分类标准;③按所分类别进行讨论;④归纳小结、综合得出结论。注意动态问题一定要先画动态图。
4 .转化与化归的思想
       转化与化归市中学数学最基本的数学思想之一,数形结合的思想体现了数与形的转化;函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化;分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化,所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。
       但是转化包括等价转化和非等价转化,等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是必要的;不等价转化就只有一种情况,因此结论要注意检验、调整和补充。转化的原则是将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题,将抽象的问题转为具体的和直观的问题;将复杂的转为简单的问题;将一般的转为特殊的问题;将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。
       但是转化包括等价转化和非等价转化,等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是必要的;不等价转化就只有一种情况,因此结论要注意检验、调整和补充。转化的原则是将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题,将抽象的问题转为具体的和直观的问题;将复杂的转为简单的问题;将一般的转为特殊的问题;将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。
  常见的转化方法有
( 1 )直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题 .
( 2 )换元法:运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题 . 
( 3 )数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径 . 
( 4 )等价转化法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的 . 
( 5 )特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题,使结论适合原问题 .
( 6 )构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题 .
( 7 )坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径
转化与化归的指导思想
( 1 )把什么问题进行转化,即化归对象 . 
( 2 )化归到何处去,即化归目标 . 
( 3 )如何进行化归,即化归方法 . 
化归与转化思想是一切数学思想方法的核心 .
二、中学数学解题中的的基本方法
1. 观察与实验
( 1 )观察法:有目的有计划的通过视觉直观的发现数学对象的规律、性质和解决问题的途径。
( 2 )实验法:实验法是有目的的、模拟的创设一些有利于观察的数学对象,通过观察研究将复杂的问题直观化、简单化。它具有直观性强,特征清晰,同时可以试探解法、检验结论的重要优势。
2. 比较与分类
( 1 )比较法
是确定事物共同点和不同点的思维方法。在数学上两类数学对象必须有一定的关系才好比较。我们常比较两类数学对象的相同点、相异点或者是同异综合比较。
( 2 )分类的方法
分类是在比较的基础上,依据数学对象的性质的异同,把相同性质的对象归入一类,不同性质的对象归为不同类的思维方法。如上图中一次函数的 k 在不等于零的情况下的分类是大于零和小于零体现了不重不漏的原则。
3 .特殊与一般
( 1 )特殊化的方法
特殊化的方法是从给定的区域内缩小范围,甚至缩小到一个特殊的值、特殊的点、特殊的图形等情况,再去考虑问题的解答和合理性。
( 2 )一般化的方法
4. 联想与猜想
( 1 )类比联想
      类比就是根据两个对象或两类事物间存在着的相同或不同属性,联想到另一事物也可能具有某种属性的思维方法。
通过类比联想可以发现新的知识;通过类比联想可以寻求到数学解题的方法和途径:
( 2 )归纳猜想
      牛顿说过:没有大胆的猜想就没有伟大的发明。猜想可以发现真理,发现论断;猜想可以预见证明的方法和思路。初中数学主要是对命题的条件观察得出对结论的猜想,或对条件和结论的观察提出解决问题的方案与方法的猜想。
归纳是对同类事物中的所蕴含的同类性或相似性而得出的一般性结论的思维过程。归纳有完全归纳和不完全归纳。完全归纳得出的猜想是正确的,不完全归纳得出的猜想有可能正确也有可能错误,因此作为结论是需要证明的。关键是猜之有理、猜之有据。
5. 换元与配方
( 1 )换元法
      解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。
      换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。
      我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。 你可以先观察算式,你可以发现这种要换元法的算式中总是有相同的式子,然后把他们用一个字母代替,算出答案,然后答案中如果有这个字母,就把式子带进去,计算就出来啦。
( 2 )配方法
       配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式
6. 构造法与待定系数法
( 1 )构造法所谓构造性的方法就是数学中的概念和方法按固定的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。常见的有构造函数,构造图形,构造恒等式。平面几何里面的添辅助线法就是常见的构造法。构造法解题有:直接构造、变更条件构造和变更结论构造等途径。
( 2 )待定系数法:将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式,这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式,这种解决问题的方法叫做待定系数法。
7. 公式法与反证法
( 1 )公式法
利用公式解决问题的方法。初中最常用的有一元二次方程求根时使用求根公式的方法;完全平方公式的方法等。如下面一组题就是完全平方公式的应用:
( 2 )反证法是“间接证明法”一类,即:肯定题设而否定结论,从而得出矛盾,就可以肯定命题的结论的正确性,从而使命题获得了证明。
三、中学数学新题型解题方法和技巧
1. 数学探索题
       所谓探索题就是从问题给定的题设条件中探究其相应的结论并加以证明,或从给定的题目要求中探究相应的必需具备的条件、解决问题的途径。
       条件探索题:解答策略之一是将题设和结论视为已知,同时推理,在演绎的过程中寻找出相应所需的条件。
       结论探索题:通常指结论不确定不唯一,或结论需通过类比、引申、推广,或给出特例需通过归纳得出一般结论。可以先猜测再去证明;也可以寻求具体情况下的结论再证明;或直接演绎推证。
       规律探索题:实际就是探索多种解决问题的途径,制定多种解题的策略。
       活动型探索题:让学生参与一定的社会实践,在课内和课外的活动中,通过探究完成问题解决。
       推广型探索题:将一个简单的问题,加以推广,可产生新的结论,在初中教学中常见。如平行四边形的判定,就可以产生许多新的推广,一方面是自身的推广,一方面可以延伸到菱形和正方形中。
       探索是数学的生命线,解探索题是一种富有创造性的思维活动,一种数学形式的探索绝不是单一的思维方式的结果,而是多种思维方式的联系和渗透,这样可使学生在学习数学的过程中敢于质疑、提问、反思、推广。通过探索去经历数学发现、数学探究、数学创造的过程,体会创造带来的快乐。
2. 数学情境题
   情境题是以一段生活实际、故事、历史、游戏与数学问题、数学思想和方法于情境中。这类问题往往生动有趣,激发学生强烈的研究动机,但同时数学情景题又有信息量大,开放性强的特点,因此需要学生能从场景中提炼出数学问题,同时经历了借助数学知识研究实际问题的数学化过程。
如老师在讲有理数的混合运算时,
3. 数学开放题
       数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种新题型,其特征是题目的条件不充分,或没有确定的结论,也正因为这样,所以开放题的解题策略往往也是多种多样的。
( 1 )数学开放题一般具有下列特征
  ①不确定性:所提的问题常常是不确定的和一般性的,其背景情况也是用一般词语来描述的,因此需收集其他必要的信息,才能着手解的题目。
  ②探究性:没有现成的解题模式,有些答案可能易于直觉地被发现,但是求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。
  ③非完备性:有些问题的答案是不确定的,存在着多样的解答,但重要的还不是答案本身的多样性,而在于寻求解答的过程中学生的认知结构的重建。
  ④发散性:在求解过程中往往可以引出新的问题,或将问题加以推广,找出更一般、更概括性的结论。常常通过实际问题提出,学生必须用数学语言将其数学化,也就是建立数学模型。
  ⑤发展性:能激起多数学生的好奇性,全体学生都可以参与解答过程。
  ⑥创新性:教师难以用注入式进行教学,学生能自然地主动参与,教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者、合作者。
( 2 )对数学开放题的分类
       从构成数学题系统的四要素(条件、依据、方法、结论)出发,定性地可分成四类;如果寻求的答案是数学题的条件,则称为条件开放题;如果寻求的答案是依据或方法,则称为策略开放题;如果寻求的答案是结论,则称为结论开放题;如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情境中自行设定与寻找,则称为综合开放题。
      从学生的学习生活和熟悉的事物中收集材料,设计成各种形式的数学开放性问题,意在开放学生的思路,开放学生潜在的学习能力,开放性数学问题给不同层次的学生学好数学创设了机会,多种解题策略的应用,有力地发展了学生的创新思维,培养了学生的创新技能,提高了学生的创新能力。
( 3 )以数学开放题为载体的教学特征
  ①师生关系开放:教师与学生成为问题解决的共同合作者和研究者
  ②教学内容开放:开放题往往条件不完全、或结论不完全,需要收集信息加以分析和研究,给数学留下了创新的空间。
  ③教学过程的开放性:由于研究的内容的开放性可以激起学生的好奇心、同时由于问题的开放性,就没有现成的解题模式,因此就会留下想象的空间,使所有的学生都可参与想象和解答。
( 4 )开放题的教育价值
  有利于培养学生良好的思维品质;
  有助于学生主体意识的形成;
  有利于全体学生的参与,实现教学的民主性和合作性;
  有利于学生体验成功、树立信心,增强学习的兴趣;
  有助于提高学生解决问题的能力。
4. 数学建模题(初中数学建模题也可以看作是数学应用题)
       数学新课程标准指出 : 要学生会应用所学知识解决实际问题 , 能适应社会日常生活和生产劳动的基本需要。初中数学的学习目的之一 , 就是培养学生解决实际问题的能力 , 要求学生会分析和解决生产、生活中的数学问题 , 形成善于应用数学的意识和能力。从各省市的中考数学命题来看 , 也更关注学生灵活运用数学知识解决实际问题能力的考查 , 可以说培养学生解答应用题的能力是使学生能够运用所学数学知识解决实际问题的基本途径之一
初中数学应用问题的三种类型
( 1 )探求结论型数学应用问题
  根据命题中所给出的条件,要求找出一个或一个以上的正确结论
( 2 )跨学科的数学应用问题
  ①数学与物理
  ②数学与生化
       以上两题是与生物和化学有关的问题,体现了数学在生化学科的应用。
      总之,数学应用问题较好地考察了学生阅读理解能力与日常生活体验,同时又考察了学生获取信息后的抽象概括与建模能力,判断决策能力。中考数学应用问题热点题型主要包括生活、统计、测量、设计、决策、销售、开放探索、跨学科等等,中考在强化学生应用意识和应用能力方面发挥及其良好的导向功能。这就要求我们在平时教学中善于挖掘课本例题、习题的潜在的应用功能。巧妙地将课本中具有典型意义的数学问题回归生活、生产的原型,创设一个实际背景,改造成有深刻数学内涵的实际问题,以增强应用意识,发展数学建模能力。

* 课程提供者:三优优学

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