排列组合二项式定理知识点讲解
通过对排列组合与二项式定理的各个知识点的讲解,提高学生的理解和记忆能力.通过学习本讲解能够快速掌握如下知识要点:
两个计数原理中分类、分步的过程是将复杂问题简单化,蕴含了重要的数学思想方法.注意归纳排列组合题型,控制排列组合应用题的难度.排列、组合综合题对学生来说解决起来是比较困难的。教学中要注意帮助学生归纳总结常见题型的方法。例如:特殊元素、特殊位置优先法;相邻问题用捆绑法;不相邻问题用插空法等等。
利用对比教学,弄清易于混肴的概念“分类”与“分步”;“排列”与“组合”;“可重复”与“不重复”;“有顺序”与“无顺序”;“有条件限制”与“无条件限制”。
数学方法有:分类方法、化归方法、类比方法、由特殊到一般、由一般到特殊等数学方法。
1. 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
(1)当我们面临一个复杂问题时,通过分类或分步,将它分解成一些简单的问题,通过解决简单问题然后再将它们整合起来得到整个问题的解决,达到以简驭繁的效果,这是一种重要而基本的数学思想方法。两个计数原理就是这种思想的体现。在解决问题时,运用加法计数原理分类时要做到“不重不漏”。运用乘法计数原理分步时要做到“步骤完整”。只有完成了所有的步骤,才恰好完成一件事。“分类”与“分步”的区别是:分类中每一种方法都能独立“完成一件事”;分步中每一种方法都不能独立“完成一件事”。
(2)两个计数原理都只给出了“两类”或“两步”的计数原理。两个计数原理,以此类推出“n类”加法计数原理、“n步”的乘法计数原理。通过两个计数原理的教学,让学生体会由特殊到一般的数学思想。
(3)题目都具有很强的时代信息,同时又能使学生加深对两个计数原理的认识和理解,正确的运用两个计数原理,为学习排列数公式做好铺垫。因此,要重视例题的教学,充分发挥例题的作用。
在教学中,每道题都要让学生弄清楚什么是“完成一件事”,才能确定是“分类”还是“分步”,是用加法计数原理还是用乘法计数原理。
2.排列与组合
排列数、组合数是特殊的计数问题。主要内容是:排列、组合概念;排列数公式、组合数公式及其应用。在排列、组合概念教学中,要注意比较两概念的差异,“有序”、“无序”是两概念的重要区别。“元素不同”或“元素相同顺序不同”都是不同的排列,而只有“元素不同”才是不同的组合。
排列数公式的推导过程是乘法计数原理运用的过程,组合数公式是在排列数公式的基础上,运用乘法计数原理推导出来的。教学中要在复习乘法计数原理的基础上,让学生推导出公式。
要重视一题多解。要让学生认识到分类的必要性。
组合数性质建议由学生探索归纳得出。
二项式定理展开式的通项公式应给以足够的重视。关于二项式定理的很多问题都是从通项公式入手解决的。
二项式系数的性质.两个二项式系数的性质是通过赋值法证明的,体现由一般到特殊的数学思想。通过介绍杨辉三角形,让学生了解一些数学史,增强学生的民族自豪感。要让学生探索、发现杨辉三角形的内在规律,培养学生观察问题的能力。