表达式:y=kx (k≠0)
其中,自变量为x,因变量为y,而k为一个不等于零的常数;用姚柯炜专家打的比方就是:想当年大闹天宫,二郎神捉拿孙猴子时,二郎神随着孙猴子的变化而变化,正比例函数也是如此!
必过点:(0,0)(1,k)
单调性:
增函数:当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大。
减函数:当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。
倾斜度:k越大,越接近y轴;k越小,越接近x轴。
解析式的求法 :
设该正比例函数的解析式为 y=kx(k≠0),将已知点的坐标带入上式得到k,即可求出正比例函数的解析式。
另外,若求正比例函数与其它函数的交点坐标,则将两个已知的函数解析式联立成方程组,求出其x,y值即可。
表达式:y=kx+b (k,b为常数,且k≠0)
表示方法:①解析式法 ②列表法 ③图像法
基本性质
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即:y=kx+b(k≠0)
2.当x=0时,b为函数在y轴上的交点,坐标为(0,b)
当y=0时,函数图像在x轴上的交点坐标为(-b/k,0)
3.k为斜率.
4.当b=0时,一次函数图像变为正比例函数
5.图像性质:当k相同,且b不相等,图像平行
当k不同,且b相等,图像相交于y轴
当k互为互倒数时,两直线垂直
6.平移:上加下减在末尾 左加右减在中间
7.K=△y/△x
定义:
y=k/x (k≠0) k叫做反比例系数,x是自变量,y是因变量x的函数,x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。
当k>0时,图像在一、三象限,y随x的增大而减小。
当k<0时,图像在二、四象限,同一象限内,y随x的增大而增大。
定义域为x≠0;值域为y≠0。
因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交。
在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1=S2=|K|
反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴 y=x y=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。
反比例函数性质
若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点(m、n同号),那么A B两点关于原点对称。
设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n,要使它们有公共交点,则n²+4k·m≥(不小于)0。
反比例函数y=k/x的渐近线:x轴与y轴。
反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.
反比例上一点m向x、y分别做垂线,交于q、w,则矩形mwqo(o为原点)的面积为|k|
k值相等的反比例函数重合,k值不相等的反比例函数永不相交。
|k|越大,反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
定义:
二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax²+bx+c(a≠0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般式:
y=ax²+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b²)/4a) ; 顶点式
y=a(x+m)²+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(-m,k)对称轴为x=-m,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同;
交点式
重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。