八年级数学:一次函数 姚柯炜专家主讲

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一次函数

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老师介绍

  • 恩科雨露首席专家:姚柯炜

    恩科雨露首席专家:姚柯炜

    北京大学特约讲师,教育部中小学教师国家培训计划授课老师,北京师范大学校外导师,恩科雨露首席教育专家,北京恩科雨露基础教育研究院院长、河南省校园文化艺术促进会副会长,教育沙盘创始人,研究生入学考试数学专家,数学网状框架学习法创始人。
简  介 姚柯炜专家主讲的八年级数学:函数,模块化教学,让学生更容易学习,语言活泼生动,用最简单的思路来帮助学生解决有难度的问题,用最实用的教学方法帮助孩子学习。
 
先看正比例函数

  表达式:y=kx (k≠0)

    其中,自变量为x,因变量为y,而k为一个不等于零的常数;用姚柯炜专家打的比方就是:想当年大闹天宫,二郎神捉拿孙猴子时,二郎神随着孙猴子的变化而变化,正比例函数也是如此!

  必过点:(0,0)(1,k)

  

  单调性:

  增函数:当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大。

  减函数:当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。

  倾斜度:k越大,越接近y轴;k越小,越接近x轴。

  解析式的求法 :

  设该正比例函数的解析式为 y=kx(k≠0),将已知点的坐标带入上式得到k,即可求出正比例函数的解析式。

  另外,若求正比例函数与其它函数的交点坐标,则将两个已知的函数解析式联立成方程组,求出其x,y值即可。

 

再说说一次函数

  表达式:y=kx+b (k,b为常数,且k≠0)

  表示方法:①解析式法 ②列表法 ③图像法

  

  基本性质

  1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k

  即:y=kx+b(k≠0)

  2.当x=0时,b为函数在y轴上的交点,坐标为(0,b)

  当y=0时,函数图像在x轴上的交点坐标为(-b/k,0)

  3.k为斜率.

  4.当b=0时,一次函数图像变为正比例函数

  5.图像性质:当k相同,且b不相等,图像平行

  当k不同,且b相等,图像相交于y轴

  当k互为互倒数时,两直线垂直

  6.平移:上加下减在末尾 左加右减在中间

  7.K=△y/△x

 

接着看反比例函数

  定义:

  y=k/x (k≠0) k叫做反比例系数,x是自变量,y是因变量x的函数,x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。

  当k>0时,图像在一、三象限,y随x的增大而减小。

  当k<0时,图像在二、四象限,同一象限内,y随x的增大而增大。

  定义域为x≠0;值域为y≠0。

  

  因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交。

  在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1=S2=|K|

  反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴 y=x y=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。

  反比例函数性质

  若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点(m、n同号),那么A B两点关于原点对称。

  设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n,要使它们有公共交点,则n&sup2+4k·m≥(不小于)0。

  反比例函数y=k/x的渐近线:x轴与y轴。

  反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.

  反比例上一点m向x、y分别做垂线,交于q、w,则矩形mwqo(o为原点)的面积为|k|

  k值相等的反比例函数重合,k值不相等的反比例函数永不相交。

  |k|越大,反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

  

最后压轴说二次函数

  定义:

  二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax²+bx+c(a≠0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

  一般式:

  y=ax²+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b²)/4a) ; 顶点式

  y=a(x+m)²+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(-m,k)对称轴为x=-m,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同;

  交点式

  重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

* 课程提供者:恩科雨露(北京)教育科技有限责任公司

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